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L'infini - Science Etonnante

Dans cet épisode, Science Etonnante répond à la question "Y a-t-il des infinis plus gros que les autres ?" en nous présentant l'infini en mathématiques.

Ce qu'il faut retenir !

  • En mathématiques, on appelle le nombre d'éléments d'un ensemble "Le Cardinal".
  • Si on prend l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, 3, etc...) on se rend compte que son Cardinal = Infini, on peut même utiliser cela comme définition : L'infini c'est le Cardinal des entiers naturels.
  • Afin de comparer plusieurs infinis, on peut utiliser "L'hôtel de Hilbert". En l'utilisant on comprend que si on peut faire une bijection entre 2 infinis alors c'est qu'ils ont le même Cardinal et donc qu'il n'y a pas un ensemble plus grand que l'autre.
  • Finalement, si on arrive à numéroter les éléments d'un ensemble, alors c'est qu'on peut faire une bijection avec N (ensemble des entiers naturels) et donc que cet ensemble à le même Cardinal que N.
  • En testant "L'hôtel de Hilbert" avec plusieurs ensembles : les entiers relatifs, les nombres pairs, les carrés, etc... On arrive toujours à faire une bijection avec N, on appelle ces ensembles, les ensembles dénombrables.
  • Du coup existe-t-il des ensembles « indénombrables » ? Oui, par exemple l'ensemble des nombres réels (R) et on peut du coup dire que R > N.

Les sujets vulgarisés

Les scientifiques impliqués

  • Georg Cantor

    Georg
    Cantor

  • David Hilbert

    David
    Hilbert

  • Kurt Gödel

    Kurt
    Gödel

Les questions abordées :

  • Y a-t-il des infinis plus gros que les autres ?
  • Comment comparer les infinis ?
  • Existe-t-il des ensembles indénombrables ?

Les concepts scientifiques présentés :

  • La théorie des ensembles
  • Le Cardinal
  • Les entiers naturels
  • La lemniscate
  • L'hôtel de Hilbert
  • Une bijection
  • Les nombres réels
  • L'hypothèse du continu
  • Le théorème de Gödel

Ajouté le par MonPetitLabo MonPetitLabo